Prisioneros problemáticos

El problema de las bolas blancas y negras, planteado hace tres semanas, suscitó un intenso e interesante debate que puso de manifiesto, una vez más, lo engañosas y contraintuitivas que pueden ser las estimaciones probabilísticas. Dicho problema está emparentado con otro que, a primera vista, parece totalmente distinto, pero no lo es tanto: Tres prisioneros, a los que llamaremos Alberto, Bernardo y Carlos, saben que uno de ellos va a ser indultado, pero no saben cuál de los tres. Alberto soborna al carcelero para que le diga el nombre de uno de sus compañeros de infortunio que no vaya a ser indultado. El carcelero acepta el soborno y le dice: “Bernardo no va a ser indultado”. Alberto se siente algo mejor, pues piensa que ahora su probabilidad de ser indultado es del cincuenta por ciento, ya que solo hay dos candidatos: Carlos y él. ¿Está justificado su alivio? Y suponiendo que Carlos se enterara de lo que ha dicho el carcelero, ¿podría sentirse tan comparativamente aliviado como Alberto?

El problema de los 100 prisioneros

No se puede hablar de problemas de presos sin mencionar algunos clásicos, como el famoso dilema del prisionero, o el acertijo de los tres sombreros blancos y los dos sombreros negros, o el de los 100 prisioneros y los 100 cajones numerados. De momento, nos ocuparemos de este último: En una cárcel hay 100 prisioneros condenados a muerte, cada uno de ellos con un número distinto, del 1 al 100, en su uniforme carcelario. En un despacho de la cárcel hay un casillero con 100 cajones, también numerados del 1 al 100, y en cada cajón hay una tarjeta con un número, también del 1 al 100, que no tiene por qué coincidir con el número del cajón que la contiene, puesto que las tarjetas han sido distribuidas al azar. El director de la cárcel les propone el siguiente juego: cada prisionero, por separado, entrará en el despacho del casillero y podrá abrir como máximo 50 cajones para encontrar la tarjeta con el mismo número de su uniforme, y antes de salir volverá a cerrar todos los cajones. Si todos los presos encuentran su número, todos serán indultados; pero bastará con que uno de ellos no encuentre su número para que todos sean ejecutados.

La probabilidad de que un preso encuentre su número abriendo la mitad de los cajones es, obviamente, 1/2, por lo que la probabilidad de que todos ellos lo consigan es de 1/2 elevado a la potencia 100, menor de una en un quintillón, o sea, prácticamente nula. Los presos no pueden comunicarse una vez empezado el juego, pero pueden acordar una estrategia antes de empezar. Y, de hecho, hay una estrategia que hace que la probabilidad de éxito sea superior al 30 %. ¿Cuál es?

Este es el planteamiento original del problema, tal como lo formularon en 2003 los informáticos daneses Anna Gal y Peter Bro Miltersen; pero sugiero a mis sagaces lectoras/es que empiecen intentando resolverlo con menos prisioneros y cajones: 2, 4, 6, 8… (siempre número par, por lo de abrir la mitad de los cajones). Es evidente que reduciendo el número de presos y cajones se simplifica el problema y aumenta la probabilidad de que los condenados se salven; pero ¿qué pasaría si lo aumentáramos? ¿Disminuirá la probabilidad de salvarse cuantos más prisioneros y cajones haya?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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