La serie que cambió el mundo

Retrato de Jean-Baptiste Joseph Fourier realizado por el pintor y dibujante francés Louis Léopold Boilly.
Retrato de Jean-Baptiste Joseph Fourier realizado por el pintor y dibujante francés Louis Léopold Boilly.Wikimedia Commons.

Joseph Fourier nació en 1768 dentro de una familia humilde de Auxerre (Francia) y a la edad de 10 años se quedó huérfano. Eso no le impidió contribuir de forma importante a la egiptología, ostentar altos cargos políticos o escribir el primer texto científico sobre el efecto invernadero, además de convertirse en uno de los matemáticos más célebres de la historia.

En 1822 publicó la obra Teoría analítica del calor. En ella dedujo una ecuación en derivadas parciales para describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido y dio un método para resolverla que hoy en día se siguen aprendiendo en las carreras de ciencias e ingenierías. En uno de los pasos de su método, Fourier afirmaba que toda función periódica –que son las funciones que repiten su valor cada cierto intervalo– podía escribirse como una serie de funciones ondulatorias: senos y cosenos. Además, aportó la expresión exacta de los coeficientes de la serie –los valores que multiplican a cada seno y coseno–. Actualmente esta representación se conoce como serie de Fourier de una función.

Su afirmación estuvo inspirada por trabajos anteriores de Daniel Bernoulli, Leonhard Euler o Jean Le Rond d’Alambert, y por la confirmación de que era cierta para funciones conocidas que aparecían en fenómenos naturales. Sin embargo, la ausencia de una demostración con rigor matemático fue uno de los motivos por los que el texto, terminado en su primera versión en 1807, tardó 15 años en ser aceptado para su publicación.

Numerosos matemáticos de las siguientes generaciones intentaron entender hasta qué punto era cierta la representación de las series de Fourier. El objetivo era saber qué propiedades de una función permitían asegurar que podía ser expresada de esa manera–es decir, determinar las condiciones suficientes– y qué propiedades cumplían las funciones que tenían esa representación –identificar las condiciones necesarias–. Esa búsqueda con motivaciones puramente matemáticas propició el desarrollo de teorías fundamentales, como la de integración de Riemann o Lebesgue, o la de conjuntos de Cantor, así como el significado mismo de función.

No es exagerado decir que esta cuestión fue uno de los grandes motores de las matemáticas del siglo XIX, e incluso 200 años más tarde lo sigue siendo. Así, en la actualidad una de las áreas que está dando resultados de gran impacto es la llamada teoría de restricción de Fourier, que se propone comprender cuándo la versión continua de la serie de Fourier –la llamada transformada de Fourier–, en la que tomamos una integral en vez de una suma y así sirve para funciones no periódicas, está bien definida cuando la restringimos a superficies como la esfera o el cono. El estudio de esta cuestión, aunque pueda parecer extremadamente específica y remota de otras áreas, ha interesado a muchos matemáticos, entre ellos tres galardonados con la medalla Fields, y ha permitido dar solución a problemas de áreas tan dispares como las ecuaciones dispersivas no lineales, la combinatoria, la geometría algebraica o la teoría de números.

Este es uno de los casos en la historia de las matemáticas en el que cuestiones que surgieron por el puro deseo de entender fueron fundamentales años después para otras áreas científica

A su vez, el desarrollo de la teoría sobre las series de Fourier surtió de herramientas precisas a las ciencias e ingenierías. Cada uno de los senos y cosenos de la serie corresponde a una frecuencia –piénsese en ondas con distinto número de repeticiones por unidad de tiempo–, y entender cómo se comporta una función a través de las distintas frecuencias es fundamental en nuestro mundo actual para la transmisión de señales o la reconstrucción de imágenes por ultrasonido, entre otras aplicaciones. La transformada de Fourier también es básica en la mecánica cuántica, ya que su uso hace posible pasar de una forma a otra de representar el estado de una partícula –es decir, pasar del espacio de posiciones al espacio de momentos y viceversa–. Cabe destacar que de los cuatro galardonados este año con el premio Princesa de Asturias de Investigación Científica y Técnica, dos se doctoraron con trabajos sobre matemática pura dentro del área llamada análisis de Fourier, y el premio fue en reconocimiento a la teoría de ondículas, una versión refinada de las series de Fourier.

Este es uno de los casos en la historia de las matemáticas en el que cuestiones que surgieron por el puro deseo de entender fueron fundamentales años después para otras áreas científicas. Otros ejemplos son el desarrollo de la geometría no euclidiana que permitía que hubiera triángulos cuyos ángulos no sumaran 180º, y que desembocó en la geometría riemanniana que llegó a ser clave para la teoría general de la relatividad de Einstein; o la teoría de números que se utiliza en el sistema criptográfico de clave pública que da seguridad actualmente en internet.

En el prólogo de la Teoría analítica del calor, Fourier escribió que “el estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos”. Sin embargo, quizás hoy, viendo el desarrollo de las matemáticas derivadas de su afirmación, y todas sus implicaciones, escribiría que la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos y de la naturaleza es el estudio profundo de las matemáticas. También debería convencernos a todos sobre los caminos tan impredecibles que toma la ciencia y como apostar por la investigación pura produce fértiles resultados.

Javier Ramos Maravall es investigador Marie Skłodowska-Curie en el ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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